Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件||PM|-|PN||=2

2

，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）过N（2，0）作直线l交曲线W于A，B两点，使得|AB|=2

2

，求直线l的方程．
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，令|PC|=d，试用d来表示

PA

•

PB

，并求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，实轴长为2

2

的双曲线．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

满足题意；若k存在，可设l：y=k（x-2），联立

y=k(x-2) x2-y2=2

，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由题意知

1-k2≠0 △＞0

，k≠±1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

△

|a|

1+k2

．由此能求出直线l的方程．
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知

PA

•

PB

=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3，由此能求出

PA

•

PB

的范围．

解答：解：（1）由||PM|-|PN||=2

2

，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，
实轴长为2

2

的双曲线．（2分）
即设2a=2

2

，2c=4?a=

2

，c=2，b=

2

所以所求的W的方程为x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2，

2

），B（2，-

2

），|AB|=2

2

满足题意；（5分）
若k存在，可设l：y=k（x-2）
联立

y=k(x-2) x2-y2=2

，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由题意知

1-k2≠0 △＞0

?k∈R且k≠±1（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=

△

|a|

1+k2

即

8k2+8

|1-k2|

1+k2

=2

2

?k=0即l：y=0（8分）
所以直线l的方程为x=2或y=0（9分）
（3）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=(d2-1)(1-2sin2APO′)=(d2-1)[1-2(

1

d

)2]=

(d2-1)(d2-2)

d2

；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
则

PA

•

PB

=

(d2-1)(d2-2)

d2

=d2+

2

d2

-3
∵d²≥10（13分）f(d)=d2+

2

d2

-3在[

10

，+∞)是增函数，
∴f(d)≥10+

2

10

-3=7

1

5

则所求的

PA

•

PB

的范围为[7

1

5

，+∞)（16分）

点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，求

PA

•

PB

的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质和向量数量积计算公式，合理地进行等价转化．