Question

设函数f(x)=log

1

2

x+1

x-1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）是奇函数
由

x+1

x-1

＞0得x＞1或x＜-1，又f(-x)=log

1

2

-x+1

-x-1

=-f(x)，∴函数f（x）是奇函数
（2）不妨设u(x)=

x+1

x-1

，1＜x1＜x2，则u(x1)-u(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，∴u(x1)-u(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，∴u（x₁）＞u（x₂），
又f(x)=log

1

2

u(x)，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，等价于f(3)-(

1

2

)3＞m，解得m＜-

9

8

．