Question

4．设a、b、c是正数，若$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$成等差数列，判断$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$是不是也成等差数列？证明你的结论．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义进行证明即可．

解答 解：$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$也成等差数列．理由如下：
∵$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$成等差数列，
∴2×$\frac{c+a}{b}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+b}{c}$，
∴2×$\frac{c+a+b-b}{b}$=$\frac{b+c+a-a}{a}$+$\frac{a+b+c-c}{c}$，
∴2×（$\frac{a+b+c}{b}$-1）=$\frac{a+b+c}{a}$-1+$\frac{a+b+c}{c}$-1，
∴2×$\frac{a+b+c}{b}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{c}$，
∵设a、b、c是正数，a+b+c＞0，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$也成等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的定义和判断，考查学生的运算和推理能力．