题目内容

设函数.

（1）求函数在区间的最小值；

（2）当时，记曲线在处的切线为，与轴交于点，求证：.

 

【答案】

见解析.

【解析】（1）先求出导数，再利用导数求最值的步骤求出最值，注意对参数a 的讨论要全面；(2)先求出切线方程，进一步求出点的坐标，然后利用不等式知识比较大小即可。

解：（1）， （2分）

     当时，为上的增函数

     ∴在区间上的最小值为   （4分）

     当时，在，上单调递增，在上单调递减   

     当，即时，在区间上的最小值为

当，即时，在区间上的最小值为    （8分）

综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为。

（II）证明：曲线在点处的切线方程为：

，令，得     （10分）

∴，∵，∴，    （12分）

∵，∴，∴  

∴  （15分）

 

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