Question

（2009•金山区一模）已知等差数列{a_n}满足：a₁+a_2n-1=2n，（n∈N*），设S_n是数列{

1

an

}的前n项和，记f（n）=S_2n-S_n，
（1）求a_n；（n∈N*）
（2）比较f（n+1）与f（n）的大小；（n∈N*）
（3）如果函数g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零，那么a、b应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以数列中的每一项均可用首项和公差表示，代入a₁+a_2n-1=2n，即可求出a_n．
（2）根据等差数列的通项公式，求出函数f（n）的表达式，再用作差法比较f（n+1）与f（n）的大小．
（3）如果函数g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零，则log₂x-12f（n）＜0恒成立，即当x∈[a，b]时，log₂x小于12f（n）的最小值，根据f（n）的单调性求出最小值即可．

解答：解：（1）设a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

1

+

1

2

+…+

1

n

f（n）=S_2n-S_n=（

1

1

+

1

2

+…+

1

2n

）-（

1

1

+

1

2

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

因为f（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
所以f（n+1）＞f（n） 
（3）由（2）可知：数列{f（n）}的项的取值是随n的增大而增大，
当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

由函数y=log₂x的性质可知，在区间（0，2⁷）上的函数值恒小于7，
所以a、b应满足条件0＜a＜b＜2⁷．

点评：本题主要考查了函数与数列的综合运用，注意两个知识点的结合．