题目内容

精英家教网如图，在四边形ABCD中，|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=6，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=9，
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，则(
AB
+
DC
)•
AC
的值为
 
．
分析：由条件可得AB⊥BD，BD⊥DC，|
BD
|=3，|
AB
| +|
DC
|=3，再根据
AB
  ，  
DC
  是方向相同的两个向量，故
AB
+
DC
=3，由 (
AB
+
DC
)•
AC
=(
AB
+
DC
)2，运算求得结果．
解答：解：∵
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，∴AB⊥BD，BD⊥DC．    又|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=6，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=9，∴|
BD
|=3，|
AB
| +|
DC
|=3．
又
AB
  ，  
DC
  是方向相同的两个向量，故
AB
+
DC
=3．
∴(
AB
+
DC
)•
AC
=(
AB
+
DC
)•( 
AB
 +
BD
+
DC
)=
AB
2+0+
AB
 •
DC
+
DC
•
AB
+0+
DC
2 
=(
AB
+
DC
)2=32=9，
故答案为9．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得
AB
+
DC
=3，是解题的
关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四边形ABCD中，△ABC为边长等于
3
的正三角形，∠BDC=45°，
∠CBD=75°，求线段AC的长．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=
15
3
2
，求AB的长．
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S△ADC=
152
，求AB的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞
35
时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
（2012•青岛二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB1∥面A1C1C．

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