Question

已知函数f（x）=e^x+tx（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当t=-e时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞0的解集为P，且集合{x|0＜x≤2}⊆P，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集为P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，利用分离参数法，可得t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可求实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当t=-e时，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集为P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知，对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e^x+tx＞0即t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立． 
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

．
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．
∴函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=-e，即为在x∈（0，2]上的最大值．
∴实数t的取值范围是（-e，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将问题转化为t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，利用求出右边对应函数的最大值，可求实数t的取值范围．