Question

已知bcosC=（2a-c）cosB，a+c=4，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．
（1）求角B的大小；    
（2）若b=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由bcosC=（2a-c）cosB，a+c=4，由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinA，求得cosB=

1

2

，根据 0＜B＜π，得到答案．
（2）由b=2

2

，由余弦定理可得 a²+c²-ac=8，再由 a²+c²+2ac=16，可得ac的值，由S_△ABC=

1

2

acsinB求出结果．

解答：解：（1）∵bcosC=（2a-c）cosB，a+c=4，∴2acosB=bcosC+ccosB，
由正弦定理得 2sinA cosB=sinB cosC+sinC cosB=sin（B+C）=sin（π-A ）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴cosB=

1

2

，∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（2）∵b=2

2

，由余弦定理可得 a²+c²-ac=8，再由 a²+c²+2ac=16，∴ac=

8

3

，
∴S_△ABC=

1

2

 ac sinB=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的正弦公式的应用，求出ac的值，是解题的关键．