题目内容
设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（1）求a，b的值．
（2）设g（x）=
，求函数g（x）的极值．
（1）求a，b的值．
（2）设g（x）=
| f′(x) |
| ex |
考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算
专题：导数的综合应用
分析：（1）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f′（x），结合f′（1）=2a，f′（2）=-b，能求出a，b的值．
（2）根据g（x）=f′（x）e-1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g′（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．
（2）根据g（x）=f′（x）e-1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g′（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．
解答：
解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
令x=1，得f′（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f′（2）=12+4a+b=-b，
因此12+4a+b=-b，解得a=-
．
（2）由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x
从而有g′（x）=（-3x2+9x）e-x
令g′（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）=（3x2-3x-3）e-x在x=0时取极小值g（0）=-3，
在x=3时取极大值g（3）=15e-3．
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
令x=1，得f′（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f′（2）=12+4a+b=-b，
因此12+4a+b=-b，解得a=-
| 3 |
| 2 |
（2）由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x
从而有g′（x）=（-3x2+9x）e-x
令g′（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）=（3x2-3x-3）e-x在x=0时取极小值g（0）=-3，
在x=3时取极大值g（3）=15e-3．
点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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