题目内容

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC， $数学公式$ ， $数学公式$ ，AC=2，A₁C₁=1， $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0）， $\text{[math]}$ ，C（0，2，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵BD：DC=1：2，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴D点坐标为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴BC⊥AA₁，BC⊥AD，又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD，又BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）设平面BCC₁B₁的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0即 $\text{[math]}$ ，
取 $\text{[math]}$ ，
解得= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
因此：AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，再求数量积得到线线垂直，进而推知面面垂直，
（Ⅱ）先求得平面BCC₁B₁的一个法向量，再利用向量法求线面角公式求解．
点评：本题主要是用向量的方法来证明线线垂直，体现垂直关系的转化，同时反映出用向量法求角的优越性．