Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点：
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦值；
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以B为原点，BA、BC、BB₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，A，A₁，C₁，B₁，D，E，求出，，利用cos＜＞=，求出直线BE与A₁C所成的角的余弦值．
（2）假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b，求出F，，利用求出b=a或b=2a，即可说明CF⊥平面B₁DF．
解答：解：（1）以B为原点，BA、BC、BB₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为AC=2a，∠ABC=90°，
所以AB=BC=a
所以B（0，0，0），C（0，a，0），A（a，0，0），A₁（a，0，3a），C₁（ 0，a，3a），B₁（0，0，3a），D（），E（），，
则cos＜＞=
所以直线BE与A₁C所成的角的余弦值（6分）
（2）假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b，则F（），（9分）
所以解之得b=a或b=2a，
所以当AF=a或2a时，CF⊥平面B₁DF（12分）
点评：本题考查直线与直线所成角的求法，考查空间向量的求法，向量数量积的应用，考查计算能力，空间想象能力．