Question

【题目】已知椭圆的离心率,在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆相交于点两点,且的面积,若为线段的中点.点在轴上投影为,问：在轴上是否存在两个定点,使得为定值,若存在求出的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由题意，根据题设条件，列出关于的方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，以及弦长公式，求得，再由点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，得出，求得， 进而得出的值，即可得到结论.

（1）由题可知，

解之得：

故椭圆的标准方程为：

（2）设直线的方程为

代入椭圆方程，消去得：

若设

则

此时

又点到直线的距离：

∴

∴

假设存在符合题意的两个定点

∵

∴

又

故当，即时，为定值.

故存在两点满足题意.