Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，AA₁=2，底面ABC是边长为2的三角形，G为三角形ABC内一点，E是线段BC₁上一点，且，．
（1）请判断点G在三角形ABC内的位置；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先取AB中点O，根据∠A₁AB=60°以及AA₁=AB=2，得到AO⊥底面ABC；再O为原点建立空间直角坐标系求出各点的坐标；结合求出点E的坐标，再结合求出点G的坐标，即可得到结论．
（2）先根据条件求出两个平面的法向量，再直接代入向量夹角的计算公式即可求出结论．
解答：解：（1）∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60角
∴∠A₁AB=60°；
又AA₁=AB=2，取AB中点O，则AO⊥底面ABC，…（1分）
以O为原点建立空间直角坐标系：
则A₁（0，0，），B₁（0，2，），C₁（，1，）
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（，0，0）
设G（x，y，0）
∵=，∴E（，1，）．
又∵=，
=（0，3，），=（-x，1-y，）．
∴G（，0，0）．
所以：G为中心．…（6分）
（2）设平面B₁GE的法向量为=（x，y，z），则由=0及=0．
∴得=（，-1，）．，…（8分）
又底面ABC的法向量为=（0，0，1），设平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为θ
所以：cosθ==，
故θ=arccos．
∴平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为arccos…（12分）
点评：本题主要考查了点的位置的判定，以及二面角的度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题，本题解题的关键是找出二面角的平面角对应的法向量．