题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ，若对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），则m的取值范围是

A.
[0， $数学公式$ ]
B.
[ $数学公式$ ，0]
C.
[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]
D.
[ $数学公式$ ，1]

C
分析：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-1，2]上值域，列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．
解答：根据对于任意x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），得到函数g（x）在[-1，2]上值域是f（x）在[-1，2]上值域的子集
$\text{[math]}$ 求导函数可得：f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1），∴函数f（x）在[-1，1）上单调减，在（1，2]上单调增
∴f（-1）= $\text{[math]}$ ，f（1）=- $\text{[math]}$ ，f（2）= $\text{[math]}$ ，∴f（x）在[-1，2]上值域是[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；
m＞0时，函数g（x）在[-1，2]上单调增，∴g（x）在[-1，2]上值域是[-m+ $\text{[math]}$ ，2m+ $\text{[math]}$ ]
∴-m+ $\text{[math]}$ ≥- $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ≥2m+ $\text{[math]}$
∴0＜m≤ $\text{[math]}$
m=0时，g（x）= $\text{[math]}$ 满足题意；
m＜0时，函数g（x）在[-1，2]上单调减，∴g（x）在[-1，2]上值域是[2m+ $\text{[math]}$ ，-m+ $\text{[math]}$ ]
∴2m+ $\text{[math]}$ ≥- $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ≥-m+ $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ ≤m＜0
综上知m的取值范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
故选C．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．