Question

有下列命题：
①在函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．
其中所有真命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：①将函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的化为y=

1

2

cos2x，利用其周期判断即可；
②将函数y=

x+3

x-1

转化为y=1+

4

x-1

，可知其对称中心为（1，1）；
③对a分a=0与a≠0讨论即可；
④利用全称命题的否定是特称命题，注意量词的转化与结论的变化即可；
⑤利用两角和的正弦公式与诱导公式可求得sinC=

1

2

，再排除C=150°即可判断其正误．

解答：解：∵=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）
=cos（

π

4

-x）sin[

π

2

-（x+

π

4

）]
=cos（

π

4

-x）sin（

π

4

-x）
=

1

2

sin（

π

2

-2x）
=

1

2

cos2x，
∴其周期T=π，又相邻两个对称中心的距离为

T

2

=

π

2

，
故①错误；
对于②，∵函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，
∴其对称中心为（1，1），而非（-1，1），
故②错误；
对于③，∵x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，
∴当a=0时，方程无解，故舍去；
当a≠0时，方程ax²-2ax-1=0为一元二次方程，有且仅有一个实数根?△=4a²+4a=0，
∴a=-1．
故③正确；
对于④，已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1，正确；
对于⑤，∵在△ABC中，若3sinA+4cosB=6（1），4sinB+3cosA=1（2），
∴（1）²+（2）²得：9+16+24sin（A+B）=37，
∴24sin（A+B）=12，sin（A+B）=

1

2

，又A+B+C=π，
∴sinC=

1

2

，又0°＜C＜180°，
∴C等于30°或150°．
若C=150°，则0°＜A＜30°，0°＜B＜30°，
∴4sinB+3cosA＞0+3cos30°=

3 3

2

＞1，与已知4sinB+3cosA=1矛盾，
∴C≠150°，故⑤错误．
综上所述，只有③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的对称性，命题的否定及三角函数公式的应用，考查分析与综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．