Question

（本小题满分14分）设函数。
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）若在定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）设，当时，
求证：① 在其定义域内恒成立；
求证：② 。

Answer 1

（1）。（2）。经检验适合。（3）见解析。

本题以函数为载体．主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题
（1）先求函数的导函数，根据若x= 时，f（x）取得极值得f′（ ）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；
(3) ，当时，，，
∴ 在处取得极大值，也是最大值, ，∴，∴放缩法得到结论。
解：（1），…………………………1分
∵在处取得极值，∴，即。经检验适合。…………3分
（2）在定义域为，…………………………4分
要在定义域内为增函数，则在上恒成立。
∴，………………………5分
而，∴。经检验适合。…………………………6分
（3）①，当时，，，
∴…………………………7分
在处取得极大值，也是最大值。
而，∴，在上恒成立，
因此，∴。………………………9分
②，∴，∴………………………10分
∴ 
 …………………………11分
…………………………12分
=
= = ………………………14分