Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c是非零常数），n=1，2，3，…），a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列
（1）求常数c的值；
（2）数列{

1

an

}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

5

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，由a₁，a₂，a₃成等比数列，能求出c的值．
（Ⅱ）当n≥2时，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+cn
∴a₂=2+c，a₃=2+3c
∵a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列
∴（2+c）²=2（2+3c）
∵c≠0
∴c=2
（2）由（1）可得，a_n+1=a_n+2n
∴a₂-a₁=2
a₃-a₂=4
…
a_n-a_n-1=2（n-1）
以上n-1个式子叠加可得，a_n-a₁=2+4+…+2（n-1）
∴an=n2-n+2=n（n-1）+2
∴Sn=

1

2

+

1

2×1+2

+…+

1

n(n-1)+2

＜

1

2

+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n-1)

=

3

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

5

4

-

1

4

＜

5

4

点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．