Question

4．已知函数f（x）=|x+1|-2|x|．
（1）求不等式f（x）≤-6的解集；
（2）若存在实数x满足f（x）=log₂a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为${log}_{2}^{a}$≤1，解出即可．

解答 解：（1）x≥0时，f（x）=x+1-2x=-x+1≤-6，
解得：x≥7，
-1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤-6，无解，
x≤-1时，f（x）=-x-1+2x≤-6，
解得：x≤-7，
故不等式的解集是{x|x≥7或x≤-7}；
（2）x≥0时，f（x）=-x+1≤1，
-1＜x＜0时，f（x）=3x+1，-2＜f（x）＜1，
x≤-1时，f（x）=x-1≤-2，
故f（x）的最大值是1，
若存在实数x满足f（x）=log₂a，
只需${log}_{2}^{a}$≤1即可，解得：0＜a≤2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．