题目内容
【题目】已知数列
满足
，
．
（1）求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记
，
为数列
的前
项和，若
对任意的正整数都成立，求实数
的最小值．
【答案】（1）见解析，
；（2）
【解析】
（1）根据
，
，化简变形可得
，从而证明数列
是等差数列；即可求得数列的通项公式，从而得到数列
的通项公式；
（2）求出
，然后利用错位相减法求出数列
的前
项和
，再根据
对任意的正整数都成立，可得
对任意的正整数都成立，最后利用基本不等式求出
的最大值即可得到
的最小值．
（1）证明：
，，
，
，
，即，又，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
，，数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
，
，
．
由对任意的正整数都成立，得
对任意的正整数都成立，
，当且仅当
时取等号， 
，
的最小值为．
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