Question

已知函数f（x）=3cos²x+2cosxsinx+sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函数解析式的三项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出函数f（x）的最大值，令正弦函数中的角等于2kπ+

π

2

即可求出此时x的值；
（Ⅱ）由正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=3cos²x+2cosxsinx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+sin2x+

1-cos2x

2

=2+sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+2
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+

2

；
（Ⅱ）当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）时，
正弦函数sin（2x+

π

4

）单调递增，此时函数也单调递增，
则函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域及值域，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．