Question

【题目】某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低万元与技术改造投入万元之间满足：①与和的乘积成正比；②当时， ，并且技术改造投入比率， 为常数且．

（1）求的解析式及其定义域；

（2）求的最大值及相应的值．

Answer 1

【答案】（1），定义域是（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求比例系数，再比率范围得定义域（2）先求导数，再求定义区间上导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最大值

试题解析：（1）设，

当时， ，即，解得，

所以，

因为，所以函数的定义域是．

（2）因为（），

所以，令，则（舍去）或，

当时， ，所以在上是增函数，

当时， ，所以在上是减函数，

所以为函数的极大值点，

当，即， ；

当，即时， ，

综上可得，当时， 的最大值为， 的值为20；

当时， 的最大值为， 的值为．