Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，

在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2 ，可得∠PCD=30°，

∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°= ．

∴A（1，0，0），P（0，﹣1， ），B（1，2，0），C（0，2，0），

=（1，1，﹣ ）， =（1，3，﹣ ）， =（0，3，﹣ ），

设平面PAB的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（ ），

设平面PBC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取c= ，得 =（2，1， ），

设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，

则cosθ= = = ，sinθ= = ，

tanθ= = ．

∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为 ．

故答案为： ．

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的正切值．