Question

设函数f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

（x＞-1且x≠0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）值域；
（3）已知

1

2x+1

＞（x+1）^m对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

，令f′（x）＞0，可得-1＜x＜

1

e

-1时，故函数在区间（-1，

1

e

）内单调递增；令f′（x）＜0，即

1

e

-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（

1

e

-1，0）和（0，+∞）内单调减．
（2）由f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

=0可得x=

1

e

-1，利用函数的单调性得到函数的最大值，再分析当x从-1的右边靠近-1时，f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；在区间（0，+∞）上f（x）是增函数，并且f（x）＞0，当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，可得f（x）→0．
（3）由题意可得对原不等式两边取自然对数得：

1

x+1

ln2＞mln(x+1)，所以m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

，对x∈（-1，0）恒成立，进而构造出新的函数求出新函数的最大值即可解决问题．

解答：解：（1）f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

，
所以当f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜

1

e

，即-1＜x＜

1

e

-1，故函数在区间（-1，

1

e

-1）内单调递增；
当f′（x）＜0，即

1

e

-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（

1

e

-1，0）和（0，+∞）内单调减．
故函数的单调增区间为（-1，

1

e

-1），单调减区间为（

1

e

-1，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

=0可得x=

1

e

-1，
由（1）可得f（x）在（-1，

1

e

-1）内单调递增，在（

1

e

-1，0）内单调减，
所以在区间（-1，0）上，当x=

1

e

-1时，f（x）取得极大值即最大值为f（

1

e

-1）=-e．
又因为当x从-1的右边靠近-1时，0＜x+1＜1，所以x→-1时f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；
所以当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-∞，-e]．
在区间（0，+∞）上f（x）是减函数，并且f（x）＞0，
当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，由函数的解析式可得f（x）→0．
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，从而1＜

1

x+1

，
由题意可得：

1

2x+1

＞（x+1）^m对任意x∈（-1，0）恒成立，
所以两边取自然对数得：

1

x+1

ln2＞mln(x+1)
所以m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

，对x∈（-1，0）恒成立，则m大于

ln2

(x+1)ln(x+1)

的最大值，
由（2）可得当x∈（-1，0）时，f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

∈（-∞，-e]，
所以

ln2

(x+1)ln(x+1)

取得最大值为-eln2，所以m＞-eln2．
所以实数m的取值范围为（-eln2，+∞）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关导数的运算，以及利用得到求函数的最值与球函数的单调区间等问题，此类问题一般以解答题的形式出现．