题目内容

设x、y∈R，
i
、
j
分别为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8，求点M（x、y）的轨迹C的方程．
考点：轨迹方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2），把|
a
|+|
b
|转化为|
F1M
|+|
F2M
|，再利用|
a
|+|
b
|=8即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程．
解答： 解：令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2）
则
a
=
F1M
，
b
=
F2M

即|
a
|+|
b
|=|
F1M
|+|
F2M
|
即|
F1M
|+|
F2M
|=8
又∵|
.
F1F2
|=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12
所求轨迹方程为
y2
16
+
x2
12
=1．
点评：本题综合考查了向量垂直问题、轨迹问题，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
相关题目
（1）证明：f（x）=x+
1
x
（x＞0）．在（0，1）上是单调递减函数，在（1，+∞）上是单调增函数．
（2）探索研究“对勾函数”g（x）=x+
a
x
（x＞0）其中a＞0的单调性．
已知曲线C1的参数方程是
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知点M1、M2的极坐标分别为(1，
π
2
)和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
的值．
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道分为三个阶段，绕地阶段、变轨阶段、绕月阶段，绕地阶段时以地球中心F2为焦点的椭圆，近地点A距离地面为m千米，远地点B距离地面为n千米，地球的半径为R千米，则卫星运行轨道的短轴长为（　　）
A、2
(m+R)(n+R)
B、
(m+R)(n+R)
C、mn
D、2mn
如图，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE=AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C，使得AD=DC．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若ED=2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长．
已知直线l1：x+ay+
2
=0与直线l2：ax+2y+2=0平行，则直线l1的倾斜角为
 
．
下列结论中正确的是（　　）
A、“x≠1”是“x（x-1）≠0”的充分不必要条件
B、已知随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）=0.15
C、将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化
D、某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本
将函数f（x）=sin（x+
π
3
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的曲线经过原点，则φ的最小值为（　　）
A、
π
12
B、
π
6
C、
π
4
D、
π
3
下列四条性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x=
π
3
对称；
③图象关于点（
π
12
，0）对称；
④在[-
π
6
，
π
3
]上是增函数．
下列函数同时具有上述性质的一个函数是（　　）
A、y=sin（
x
2
+
π
6
）
B、y=sin（2x-
π
6
）
C、y=cos（2x+
π
3
）
D、y=sin（2x+
π
6
）

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