Question

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：

二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．

解答：

解：（I）∵sin（x﹣）≠0，

∴x﹣≠kπ，k∈Z，

则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；

（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），

又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，

令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，

解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，

又注意到x≠kπ+，

则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．

点评：

此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．