Question

已知数列{a_n}是正项数列，其首项a₁=3，前n项和为．
（1）求数列{a_n}的第二项a₂及通项公式；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为K_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，解得a₂=4，由，n≥2，得，n≥3，由此能求出数列{a_n}的第二项a₂及通项公式
（2）由S_n=n²+n+1，知=＜=，利用裂项求和法能够证明．
解答：解：（1）∵数列{a_n}是正项数列，其首项a₁=3，
前n项和为，
∴，
∴3+a₂=，
解得a₂=4，或a₂=-2（舍），
由，n≥2，
得，n≥3，
两式相减，得：，n≥3，
∴a_n-a_n-1=2，n≥3，
∴．
（2）∵S_n=n²+n+1，
∴=＜=，
∴k_n≤
=
＜
＜．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意错位相减法的合理运用．