Question

（2012•桂林模拟）已知数列{a_n}是正项数列，其首项a₁=3，前n项和为Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)．
（1）求数列{a_n}的第二项a₂及通项公式；
（2）设bn=

1

Sn

，记数列{b_n}的前n项和为K_n，求证：Kn＜

17

21

．

Answer 1

分析：（1）由题设知S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，解得a₂=4，由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，由此能求出数列{a_n}的第二项a₂及通项公式
（2）由S_n=n²+n+1，知bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能够证明Kn＜

17

21

．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是正项数列，其首项a₁=3，
前n项和为Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)，
∴S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
∴3+a₂=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
解得a₂=4，或a₂=-2（舍），
由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，
得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，
两式相减，得：(

an+an-1

2

)•(

an-an-1

2

-1)=0，n≥3，
∴a_n-a_n-1=2，n≥3，
∴an=

3，n=1 2n，n≥2

．
（2）∵S_n=n²+n+1，
∴bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴k_n≤

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

n

)
＜

1

3

+

1

7

+

1

3

＜

17

21

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意错位相减法的合理运用．