Question

5．如图，点A（-2，0），B（2，0）分别为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右顶点，P，M，N为椭圆C上非顶点的三点，直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，且${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$，AP∥OM，BP∥ON．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断△OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=2，直线的斜率公式，k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，及y₂²=$\frac{{b}^{2}（{2}^{2}-{x}^{2}）}{{2}^{2}}$，即可求得b的值，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及直线的斜率公式，即可求得2t²-4k²=1，利用弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OMN的面积为定值1．

解答 解：（1）由题意可知：a=2，设P（x，y），（x≠±2，y≠±b），则y₂²=$\frac{{b}^{2}（{2}^{2}-{x}^{2}）}{{2}^{2}}$，
则直线AP斜率k₁=$\frac{y}{x+2}$，直线BP的斜率k₂=$\frac{y}{x-2}$，
则k₁k₂=$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{{b}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴b=1，
椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线MN的方程为y=kx+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+8ktx+4t²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
由k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
则4y₁y₂+x₁x₂=0，4（kx₁+t）（kx₂+t）+x₁x₂=0，
整理得：（4k²+1）x₁x₂+4kt（x₁+x₂）+4t²=0，
：（4k²+1）×$\frac{4{t}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$+4kt（-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$）+4t²=0，整理得：2t²-4k²=1，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{4{t}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{4{k}^{2}+1}}$，
由O到MN的距离d=$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△OMN的面积S，S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{4{k}^{2}+1}}$×$\frac{丨t丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$×$\frac{丨t丨}{\sqrt{2{t}^{2}}}$=1．
∴△OMN的面积1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．