Question

如图，已知椭圆C₁的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C₂的短轴为MN，且C₁，C₂的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。

（1）设e=，求|BC|与|AD|的比值；
（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由。

Answer 1

解：（1）因为C₁，C₂的离心率相同，故依题意可设
，
设直线，分别与C₁，C₂的方程联立
求得，
当时，a，分别用表示A，B的纵坐标，可知
；
（2）t=0时的l不符合题意；
时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，
即 ，
解得，
因为，又
所以
解得，
所以当时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当时，存在直线l使得BO∥AN。