Question

10．化简：π＜α＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角公式化简所给的式子，可得结果．

解答 解：∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$=$\frac{1+sinα}{|\sqrt{2}cos\frac{α}{2}|-|\sqrt{2}sin\frac{α}{2}|}$+$\frac{1-sinα}{|\sqrt{2}cos\frac{α}{2}|+|\sqrt{2}sin\frac{α}{2}|}$
=$\frac{1+sinα}{\sqrt{2}（-cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{2}（-cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$=$\frac{{（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}^{2}}{-\sqrt{2}•（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}$+$\frac{{（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}^{2}}{\sqrt{2}•（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos$\frac{α}{2}$+sin$\frac{α}{2}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$）
=-$\sqrt{2}$cos$\frac{α}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，属于基础题．