Question

(22)设函数f(x)=x²+bln(x+1)，其中b≠0.

(Ⅰ)当b＞时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

(Ⅱ)求函数f(x)的极值点；

(Ⅲ)证明对任意的正整数n，不等式ln(+1)＞都成立.

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意知，f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=2x+

设g(x)=2x²+2x+b，其图象的对称轴为x=∈(-1，+∞)，

∴g(x)_min=g()=+b.

当b＞时，g(x)_min=+b＞0，

即  g(x)=2x²+2x+b＞0在(-1，+∞)上恒成立.

∴当x∈(-1，+∞)时，f′(x)＞0.

∴当b＞时，函数f(x)在定义域(-1，+∞)上单调递增.

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，当b＞时，函数f(x)无极值点.

②b=时，f′(x)==0有两个相同的解x=，

∵x∈(-1，)时，f′(x)＞0，

x∈(，+∞)时，f′(x)＞0，

∴b=时，函数f(x)在(-1，+∞)上无极值点.

③当b＜时，f′(x)=0有两个不同解，x₁=，x₂=，

∵b＜0时，x₁=＜-1，x₂=＞-1，

即x₁(-1，+∞)，x₂∈(-1，+∞)，

∴b＜0时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x	(-1，x2)	x2	(x2，+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	极小值	↗

由此表可知：b＜0时，f(x)有惟一极小值点x₂=；

当0＜b＜时，x₁=＞-1.

∴x₁，x₂∈(-1，+∞)，

此时，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x	(-1，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x1，+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此表可知：0＜b＜时，f(x)有一个极大值点x₁=和一个极小值点x₂=，

综上所述，b＜0时，f(x)有惟一极小值点x=，

0＜b＜时，f(x)有一个极大值点x=和一个极小值点x=；

b≥时，f(x)无极值点.

(Ⅲ)当b=-1时，函数f(x)=x²-ln(x+1)，

令函数h(x)=x³-f(x)=x³-x²+ln(x+1)，

则h(x)=3x²-2x+.

∴当x∈[0，+∞)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在[0，+∞)上音调递增，

又h(0)=0，

∴x∈(0，+∞)时，恒有h(x)＞h(0)=0，即x³＞x²-ln(x+1)恒成立，

故当x∈(0，+∞)时，有ln(x+1) ＞x²-x³.

对任意正整数n，取x=∈(0，+∞)，则有ln (+1)＞，

所以结论成立.