Question

13．已知a，b∈R⁺．
（1）求证：$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b；
（2）利用（1）的结论，求函数y=$\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}+\frac{x^2}{1-x}$（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用综合法，通过证明a³+b³-a²b-ab²≥0，然后变形证明结果即可．
（2）利用（1）的结论直接求出最小值即可．

解答 （1）证明：a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b），
∵a，b∈R⁺．
∴（a-b）²（a+b）≥0，
即a³+b³-a²b-ab²≥0，
可得a³+b³≥a²b+ab²，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b；
（2）解：由（1）可得0＜x＜1时，函数y=$\frac{{{{（1-x）}^2}}}{x}+\frac{x^2}{1-x}$≥x+1-x=1．
函数的最小值为1．

点评 本题考查不等式的证明综合法的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．