Question

（2009•闸北区一模）若不等式|x-1|+|x+2|≥4^a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

（-∞，log₄3]

．

Answer 1

分析：若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需 k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由绝对值的几何意义，，求出|x-1|+|x+2|取得最小值3，得4^a≤3求出a的范围．

解答：解：若不等式|x-1|+|x+2|≥4^a恒成立，
只需 4^a小于等于|x-1|+|x+2|的最小值即可．
由绝对值的几何意义，|x-1|+|x+2|表示在数轴上点x到1，-2点的距离之和．
当点x在1，-2点之间时（包括-1，-2点），即-2≤x≤1时，，|x-1|+|x+2|取得最小值3，
∴4^a≤3
所以a≤log₄3]
故答案为（-∞，log₄3]

点评：本题考查不等式恒成立问题，本题中注意到|x-1|+|x+2|有明显的几何意义，即绝对值的几何意义，数形结合使问题轻松获解．