Question

（2009•闸北区一模）设f(x)=2cos2x+

3

sin2x，g(x)=

1

2

f(x+

5π

12

)+x+a，其中a为非零实常数．
（1）若f(x)=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）试讨论函数g（x）在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式对函数进行整理，再结合特殊角的三角函数值即可得到结论．
（2）先求出函数g（x）的解析式，再通过讨论a得到其奇偶性，并通过举例得到其单调性即可．

解答：解：（1）由已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x+

π

6

)，（2分）
由1+2sin(2x+

π

6

)=1-

3

得：sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，（1分）
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

（1分）
∴2x+

π

6

=-

π

3

，x=-

π

4

．         （2分）
（2）由已知，得g(x)=x-sin2x+a+

1

2

，（2分）
①∵当a=-

1

2

时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当a≠-

1

2

时，∵g(

π

2

)≠±g(-

π

2

)或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．（2分）（没有过程扣1分）
∵g(0)＞g(

π

6

)，故g（x）不是单调递增函数，（1分）
又∵g(

π

6

)＜g(

π

2

)，故g（x）不是单调递减函数．（1分）
∴g（x）既不是单调递减函数，也不是单调递增函数．             （没举反例扣1分）
注：用求导的方法做对给满分
令g′（x）=1-2cos2x=0⇒x=kπ±

π

6

，
易得：g（x）在区间(kπ-

π

6

，kπ+

π

6

)(k∈Z)上递增，在区间(kπ-

π

6

，kπ+

5π

6

)(k∈Z)上递减．

点评：本题主要考查三角函数的单调性以及奇偶性．解决这类问题的关键在于对公式的熟练理解以及灵活运用．