Question

设数列设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_ns_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：数列{

1

sn-1

}是等差数列，并求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，解得a1=

1

2

．同理，可解得a2=

1

6

．
（2）由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．a_n=S_n-S_n-1，所以S_n-1S_n-2S_n+1=0.Sn=

1

2-Sn-1

，

1

Sn-1

=

2-Sn-1

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

，由此能够证明数列{

1

sn-1

}是等差数列，并能求出S_n的表达式．

解答：解：（1）当n=1时，由已知得a₁²-2a₁-a₁²+1=0，
解得a1=

1

2

．
同理，可解得a2=

1

6

．（4分）
（2）证明：由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．当n≥2，n∈N^*时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．
∴Sn=

1

2-Sn-1

，Sn-1=

1

2-Sn-1

-1=

-1+Sn-1

2-Sn-1

，
∴

1

Sn-1

=

2-Sn-1

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

，
∴{

1

Sn-1

}是首项为

1

S1-1

=-2，公差为-1的等差数列（10分），
∴

1

Sn-1

=-2+(n-1)•(-1)=-1-n，
∴Sn=-

1

n+1

+1=

n

n+1

（12分）

点评：第（1）题考查数列中第1项和第2项的求法，解题时要注意函2数题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意合理地进行等价转化．