Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}是等比数列并求通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=3S_n+2，知S_n=3S_n-1+2（n≥2），两式作差可得a_n+1=3a_n（n≥2），然后验证第二项与第一项的比是否满足，从而证明{a_n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式解之即可；
（II）根据数列{na_n}的特点可知利用错位相消法进行求和即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
两式相减得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6则

a2

a1

=3
∴

an+1

an

=3（n≥1）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1•a₁+2•a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×

3n-1

3-1

-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴Tn=

(2n-1)3n+1

2

 （13分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及求和，同时考查了利用错位相消法求和以及计算能力，属于中档题．