Question

（2013•绵阳一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1=

1

2

f（b_n），求数列{

1

bn

}的通项公式；
（III）设t=

1

3

，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个

(-1)k

bk

（k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁，

(-1)1

b1

，a₂，

(-1)2

b2

，

(-1)2

b2

，a₃，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是以1为首项，

2t

t+1

为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{

1

bn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{

1

bn

}的通项公式；
（III）确定数列{c_n}为：1，-1，

1

2

，2，2，(

1

2

)2，-3，-3，-3，(

1

2

)3，…，再分组求和，即可求得数列{c_n}的前50项之和．

解答：（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴

an+1

an

=

2t

t+1

（常数）．
∴数列{a_n}是以1为首项，

2t

t+1

为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）=

2t

t+1

，b₁=a₁=1，b_n+1=

1

2

f （b_n）=

bn

bn+1

，
∴

1

bn+1

=

bn+1

bn

=

1

bn

+1，
∴数列{

1

bn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

bn

=n．…（8分）
（III）解：当t=

1

3

时，由（I）知a_n=(

1

2

)n-1，于是数列{c_n}为：1，-1，

1

2

，2，2，(

1

2

)2，-3，-3，-3，(

1

2

)3，…
设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k=cmk，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=

k(k+1)

2

，
∴m₉=

9×10

2

-45．
设S_n表示数列{c_n}的前n项和，则S₄₅=[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)8]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)8=

1-( 1 2 )9

1- 1 2

=2-

1

28

，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2-

1

28

+36=38-

1

28

．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38-

1

28

+5×（-1）⁹×9=-7

1

256

．
即数列{c_n}的前50项之和为-7

1

256

．…（12分）

点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．