Question

如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.

(1)若,求直线的斜率.

(2)求∠ATF的最大值.

Answer 1

解：(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).

当轴时,A(1,2),B(1,-2),此时,与矛盾…2分

       所以设直线的方程为y=k(x-1),

       代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

       则,①

       所以,所以y1y2=-4,　②

       因为,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,

将①②代入并整理得,k2=4,所以k=±2.……………6分

     (2)因为y1>0,

       所以,

       当且仅当,即y1=2时,取等号,

所以∠ATF≤,所以∠ATF的最大值为.……………12分