Question

已知函数f（x）满足f(logax)=

a

1-a2

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）满足f(logax)=

a

1-a2

(x-x-1)，我们可以利用换元法求出函数的解析式，进而判断出函数的奇偶性，和单调性，根据函数的性质我们可以将不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0化成一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，故我们可将f（x）+3＞0恒成立，转化为一个关于a的不等式恒成立问题，解答后，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
∴f(x)=

a

1-a2

(at-a-t)…（2分）
∴f(x)=

a

1-a2

(ax-a-x)∴f(-x)=

a

1-a2

(a-x-ax)=-

a

1-a2

(ax-a-x)=-f(x)
即y=f（x）为奇函数------…（2分）
∵f′(x)=

a

1-a2

(ax+a-x)lnaa＞1时  

a

1-a2

＜0，lna＞0
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数0＜a＜1时∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数
综上f（x）为定义域上减函数…（2分）
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m²）∴奇函数∴f（1-m）＜f（m²-1）
∵减函数∴

1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

∴0＜m＜1…（2分）
（2）∵y=f（x）为减函数∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)…（2分）
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0

a

1-a2

•

a4-1

a2

+3=

-(a2+1)

a

+3≥0…（1分）
∴

3- 5

2

≤a≤

3+ 5

2

，a≠1…（1分）

点评：本题考查的知识点是指数函数综合应用，函数的单调性、奇偶性的综合应用，其中熟练掌握函数的性质，将题目中的不等式转化为熟知的不等式式并进行解答是本题的关键．