题目内容

给定函数

(1)试求函数f(x)的单调减区间；

(2)已知各项均为负的数列{an}满足，求证：；

(3)设，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：．

答案：
解析：

　　(1)的定义域为　　1分(此处不写定义域，结果正确不扣分)

　　　　3分

　　由得或

　　单调减区间为和　　5分(答案写成(0，2)扣1分；不写区间形式扣1分)

　　(2)由已知可得，当时，

　　两式相减得

　　∴或

　　当时，，若，则这与题设矛盾

　　∴　∴　　8分

　　于是，待证不等式即为．

　　为此，我们考虑证明不等式

　　令则，

　　再令，　由知

　　∴当时，单调递增　∴　于是

　　即　①

　　令，　由知

　　∴当时，单调递增　∴　于是

　　即　　②

　　由①、②可知　　10分

　　所以，，即　　11分

　　(3)由(2)可知　则　　12分

　　在中令n＝1，2，3……2010，2011并将各式相加得

　　　　13分

　　即　　14分


练习册系列答案
相关题目
（2008•奉贤区模拟）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，
x+y
2
∈D均满足f(
x+y
2
)≥
1
2
[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：f1(x)=
1
x
(x＞0)，f2（x）=logax（a＞1，x＞0）．证明：f1（x）∉M，f2（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2m+2n=1，求m+n的最大值．
已知函数f(x)=
x+1-aa-x
，a∈R．利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于定义域中给定的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n∈N*），…如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}．
（1）求实数a的值；
（2）若x1=1，求（x1+1）（x2+1）…（xn+1）的值；
（3）设Tn=（x1+1）（x2+1）…（xn+1）（n∈N*），试问：是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立，若存在，试确定n及相应的x1的值；若不存在，请说明理由？
设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+…+am．对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
对于函数y=f（x），若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f（x）单调递减，当x＞t时，函数f（x）单调递增；②对任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），则称y=f（x）为D内的“勾函数”．
（1）证明：函数y=|logax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
（2）若D内的“勾函数”y=g（x）的导函数为y=g′（x），y=g（x）在D内有两个零点x1，x2，求证：g′(
x1+x2
2
)＞0；
（3）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x）=
1
3
λx3-
1
2
λ2x2-2λ3x+1在（m，+∞）内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网