Question

设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

1

3

x1+

2

3

x2）＜

1

3

f(x1)+

2

3

f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x²是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，记S_f=a₁+a₂+…+a_m．对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据C函数定义，对D中的任意两数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

1

3

x1+

2

3

x2）＜

1

3

f(x1)+

2

3

f(x2)，可用作差法证明f（x）=x²是否为定义域上的C函数；
（Ⅱ）利用特殊值发进行判断，只要有一个点不满足即可；
（Ⅲ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]利用α-β函数的概念求得a_n=2n，从而转化为等差数列的求和问题；

解答：（Ⅰ））解：∵f（

1

3

x₁+

2

3

x₂）-[

1

3

f（x₁）+

2

3

f（x₂）]=（

1

3

x₁+

2

3

x₂）²-（

1

3

x12+

2

3

x22）=-

2

9

x12-

2

9

x22+

4

9

x₁x₂=-

2

9

(x1-x2)2＜0，
∴对定义域中的任意两数x₁，x₂恒有f（

1

3

x₁+

2

3

x₂）＜

1

3

f（x₁）+

2

3

f（x₂）成立，
∴f（x）=x²是其定义域上的C函数；
（Ⅱ）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴令x₁=x，x₂=-x，代入有f[

1

3

×x+

2

3

（-x）]＜

1

3

f（x）+

2

3

f（-x），即f（

1

3

x）＞

1

3

f（x）；
令x₁=-x，x₂=x，代入有f[

1

3

×（-x）+

2

3

（x）]＜

1

3

f（-x）+

2

3

f（x），即f（

1

3

x）＜

1

3

f（x）；
两式矛盾，即f（x）不是定义在R上的C函数；
∴f（x）不是定义在R上的C函数．
（Ⅲ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的π函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是π函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．

点评：本题考查函数的概念、最值及数列的求和，难点在于通过对π函数的理解转化为数列求和问题，属于难题．