题目内容

在△ABC中，三边对应的向量满足（ $数学公式$ $数学公式$ ，则角A的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得 $\text{[math]}$ =0，化简得ac•cosB-3ab•cos（π-C）=0，再利用正弦定理求得tanC=-3tanB，判断A为锐角，故 tanA＞0，利用基本不等式求得tanA≤ $\text{[math]}$ ，由此求得A的最大值．
解答：在△ABC中，（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =0．
即 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ =0，即ac•cosB-3ab•cos（π-C）=0．
化简可得 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，解得tanC=-3tanB，
故tanC与tanB符号相反，故 B或C中有一个为钝角，故A为锐角，故 tanA＞0．
∴tanA=-tan（B+C）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
故有tanB＞0，再由基本不等式可得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即tanA≤ $\text{[math]}$ ，故A的最大值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，正弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．