Question

设椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，M为椭圆上异于长轴端点的一点，∠F₁MF₂=2θ，△MF₁F₂的内心为I，
则|MI|cosθ=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用椭圆的定义和圆的切线的性质及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．

解答： 解：设△MF₁F₂的内切圆与△MF₁F₂相切于D，E，F，
设MD=u，DF₁=v，FF₂=t，
则MD=MF=u，DF₁=EF₁=v，EF₂=FF₂=t，
由椭圆的定义，可得，MF₁+MF₂=2a=4，F₁F₂=2c=2

3

，
即有2u+v+t=4，v+t=2

3

，即有2u=4-2

3

，
即u=2-

3

，
再由|MI|cosθ=MF=u=2-

3

．
故答案为：2-

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查切线的性质和内心的定义，以及解直角三角形的知识，属于中档题．