Question

某电路如图所示，在某段时间内，开关A，B，C，D能接通的概率都是P.

(1)计算这段时间内电灯不亮的概率f(P)；

(2)f(P)在P∈(0,1)内是否存在最大值？若存在请求出，若不存在请说明理由.

Answer 1

解：(1)用A，B，C，D分别表示事件：开关A，B，C，D接通，

则P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P，

设B、C与D的并联电路接通的事件为E.

则P(E)=1-(1-P)(1-P²)=P+P²-P³,                                                 

∴电灯亮的概率P(AE)=P(A)P(E)=P²+P³-P⁴,

从而电灯不亮的概率为f(P)=1-P(AE)=1+P⁴-P³-P².                                  

(2)解法一：f′(P)=4P³-3P²-2P.

当0＜P＜1时，f′(P)=4P［(P)²］＜0,                                  

∴f(P)在(0，1)内无最小值.                                                     

解法二：令f′(P)=4P³-3P²-2P=0,

得P=0或P=,

∵0＜P＜1,又＞1,＜0.

∴f′(P)在(0，1)内无解，从而无最小值.