Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BAC=90⁰，AB=BB₁=1，直线B₁C与平面ABC成30⁰角，求二面角B-B₁C-A的正弦值。

Answer 1

解析:

可以知道，平面ABC与平面BCC₁B₁垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC₁B₁，过A作AN平面BCC₁B₁，垂足为N，则AN平面BCC₁B₁，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB₁内过N作NQ棱B₁C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。

∵AB₁在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB₁A，AB=BB₁=1，得AB₁=。∵直线B₁C与平面ABC成30⁰角，∴B₁CB=30⁰，B₁C=2，Rt△B₁AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。

sinAQN==。即二面角B-B₁C-A的正弦值为。