Question

12．已知点A（3cosα，3sinα，1），B（2cosβ，2sinβ，1），求|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围．

Answer 1

分析 由向量的模的公式，可得|$\overrightarrow{AB}$|，运用同角的平方关系和两角差的余弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：A（3cosα，3sinα，1），B（2cosβ，2sinβ，1），
即有|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（3cosα-2cosβ）^{2}+（3sinα-2sinβ）^{2}+（1-1）^{2}}$
=$\sqrt{9（co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）+4（co{s}^{2}β+si{n}^{2}β）-12（cosαcosβ+sinαsinβ）}$
=$\sqrt{9+4-12cos（α-β）}$=$\sqrt{13-12cos（α-β）}$，
由-1≤cos（α-β）≤1，
可得1≤|$\overrightarrow{AB}$|≤5．
即有|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围是[1，5]．

点评 本题考查向量的模的公式，考查三角函数的化简，余弦函数的值域的运用，属于中档题．