Question

已知抛物线C：y²=2px，（p＞0），点(

3

2

，m)到抛物线C的准线的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过直线l：x=-1上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），求证：直线ST过定点，并求出该定点；
（3）当直线l变动时，是否也有相应的结论成立？请写出一个正确的命题来（无需证明）．

Answer 1

分析：（1）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点(

3

2

，m)到抛物线C的准线的距离等于2可解得p，问题得解．
（2）先设A（-1，t），得到过点A的切线：l_切：y-t=k（x+1），联立切线方程与抛物线方程得到关于k和t之间的等量关系；求出S，T的坐标，进而得到直线ST的方程，即可证明结论；
（3）直接根据类比推理的思想写出一个结论即可．（答案不唯一）．

解答：解：（1）∵点(

3

2

，m)到抛物线C的准线的距离等于2，
∴

3

2

-(-

p

2

)=2⇒p=1．
∴抛物线C的方程为：y²=2x，
（2）设A（-1，t），过点A的切线：l_切：y-t=k（x+1），代入y²=2x，
得：ky²-2y+2t+2k=0，
由

k≠0 △=0

得：2k²+2tk-1=0，从而k1•k2=-

1

2

，且有ky2-2y+

1

k

=0，即（ky-1）²=0，得y=

1

k

，
因此S（

1

2 k 2 1

，

1

k1

），T(

1

2 k 2 2

，

1

k2

)，lST：y-

1

k1

=

2k1k2

k1+k2

(x-

1

2 k 2 1

)=

-1

k1+k2

(x-

1

2 k 2 1

)
即有lST：y=

-1

k1+k2

(x-1)，从而直线ST过定点P（1，0）．
（3）过直线l：x=-

1

2

上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），则直线ST过定点P(

1

2

，0)．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系判断，做题时要认真分析，避免不必要的错误．