Question

（2012•浦东新区一模）函数f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）的最小正周期为

n为奇数时，2π；n为偶数时，

π

2

．

Answer 1

分析：（1）当 n=2k-1，k∈N^*时，f（x+2π）=f（x），证明2π 是 f（x）的最小正周期；
（2）当n是大于2的偶数时，分析证明f（x）的最小正周期是

π

2

．

解答：解：∵f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）
∴（1）当 n=2k-1，k∈N^*时，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一个周期．
令 f（x）=0，可得tanⁿx=-1，即tanx=-1．
解得x=

3π

4

+kπ，k∈N^*，下面证明2π 是 f（x）的最小正周期：
①当 T₁∈（0，2π）且T₁≠π是其周期，
取 x₁=

3π

4

-T₁．
则 f（x₁）≠0，f（x₁+T₁）=0．
所以T₁不是f（x） 的周期．
②当T₂=π 时，
取x₂=0．
则 f（x₂）=1，f（x₂+T₂）=-1．
所以T₂不是f（x）的周期．
综上，当 n=2k-1，k∈N^*时，
f（x）的最小正周期是 2π．
（2）当n=2k+2，k∈N^*时，f（x+

π

2

）=f（x），
∴

π

2

是f（x）的一个周期．
当T₃∈（0，

π

2

）是其周期时，
取x₃=

π

2

-T₃．
则 sinx₃，cosx₃∈（0，1）．
所以(sinx3)2k+2＜(sinx3)2，
(cosx3)2k+2＜(cosx3)2．
所以 f（x₃）＜1．
这与f（x₃+T₃）=1矛盾，
∴T₃不是f（x）的周期．
综上，当n=2k+2，k∈N^*时，
f（x）的最小正周期是

π

2

．
综上，当n是奇数时，f（x）的最小正周期是2π；
当n是大于2的偶数时，f（x）的最小正周期是

π

2

．
故答案为：n为奇数时，2π；n为偶数时，

π

2

．

点评：本题考查函数的周期的确定与证明，考查周期的定义的理解与应用，考查分类讨论思想与转化思想，函数与方程思想的综合运用，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．