Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所成的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

(1)求证：AM∥平面BDE．

(2)求二面角A－DF－B的大小．

(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 　　设AC∩BD＝N，连结NE，则点N、E的坐标分别为(，，0)，(0，0，1)． 　　∴＝(，，1)． 　　又点A、M的坐标分别是(，0)、(，，1)． 　　∴＝(，，1)． 　　∴＝且与不共线． 　　∴NE∥AM． 　　又∵NE平面BDE，AM平面BDE， 　　∴AM∥平面BDE． 　　(2)解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A， 　　∴AB⊥平面ADF． 　　∴＝(，0，0)为平面DAF的一个法向量． 　　∵·＝(，，1)·(，0)＝0，·＝(，，1)·(0，，1)＝0， 　　∴⊥，⊥． 　　∴为平面BDF的一个法向量． 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴与的夹角是60°． 　　即所求二面角A－DF－B的大小是60°． 　　(3)解：设P(t，t，0)(0≤t≤)， 　　得＝(－t，－t，1)，＝(0，，0)， 　　又∵PF和BC所成的角是60°， 　　∴cos60°＝． 　　解得t＝或t＝(舍)． 　　即点P是AC的中点．

提示：

本题考查了线面位置关系的判定，二面角的求法，以及线线角问题，属于综合性较强的题目．