Question

已知：f（x）=2acos²x+

3

asin2x+a²（a∈R，a≠0为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，f（x）的最大值大于10，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=a（1+cos2x）+

3

asin2x+a² =2a（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）+a²+a=2asin（2x+

π

6

）+a²+a，…（3分）
所以函数的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（4分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．…（7分）
当a＞0时，当sin(2x+

π

6

)=1时，函数的最大值为a²+3a＞10，解得：a＞2（a＜-5舍去）．…（9分）
当a＜0时，当sin(2x+

π

6

)=-

1

2

时，函数的最大值为a²＞10，解得：a＜-

10

（a＞

10

舍去）． …（11分）
综上所述，a 的范围是：a＜-

10

或a＞2，即（-∞，-

10

）∪（2，+∞）．…（12分）